华莱士公式

昨天讲了鸡爪定理，今天我们来看一下鸭爪定理

鸭爪定理的内容为：

如图，设H是△ABC的垂心，高AD延长交外接于H'点。

则HD＝DH'。

证明：作高BE，联结BH'。

∵∠EBC＝90°－∠C＝∠H'AC＝∠H'BC，

∴Rt△BDH≌Rt△BDH'，

于是HD＝DH'。

说明：（1）本结论很简单也很漂亮，等价于H关于三边的对称点在外接圆上。本结论也是很常用的，因为垂心和外接圆的结构十分常见，几乎涉及到垂心与外接圆的问题都会与其有关。

（ 2）其逆命题也是正确的，即若某点关于三角形两边的对称点在外接圆上，则其为三角形垂心，或者若某点在高线上且其关于某边对称点在外接圆上则其为三角形垂心。即此性质也可以作为垂心的判定。

（3）此结论很经典，命名为鸭爪定理应该是受到鸡爪定理的启发，因为显然上图中四边形BH’CH的形状很像一个鸭蹼，所以叫鸭爪定理。事实上我们一般称上图中一条对角线是另一条对角线为筝形，因为它的形状像一个风筝。

（4）鸡爪定理中蕴含着鸭爪定理，事实上，如下图，如果我们把鸡爪定理补全，作出内心I的三个鸡爪来。对△ABC，由鸡爪定理，则FA=FI,EA=EI,故EF为AI中垂线；同理ED、FD为CI、BI中垂线。如果改变角度，从△DEF角度看，由垂直知I为△DEF垂心，则I关于△DEF三边对称点在其外接圆上。由此可知鸡爪定理与鸭爪定理等价，你中有我、我中有你，可以互相推演。

下面看与鸭爪定理有关的一些问题：

1、如下图，H是三个半径同为R的圆的共同交点，A、B、C是三圆的另三个交点。

（1） 证明：H是△ABC垂心；

（2） 证明：△ABC外接圆半径为R。（2014年高中数学联赛B卷）

分析：由三个等圆不难想到作出三个圆心，再连接相交公共弦，想到连心线垂直平分公共弦即可发现很多菱形，从而得到思路。

证明：（1）如图，设三个圆的圆心依次为E、F、G，连接各点。

由三圆为等圆知EAGH为菱形，

同理ECFH，FHGB为菱形。

则EC、HF、GB平行且相等，

从而ECBG为平行四边形，则EG//BC，

又AH⊥EG，故AH⊥BC；

同理BH⊥AC，故H为△ABC垂心；

（2）由（1）证明知EG=BC，

同理EF=AB，FG=AC，

故△ABC≅△FEG(SSS)。

显然HE=HF=HG=R，即△FEG外接圆半径为R，

则△ABC外接圆半径为R。

注：1）本结论很经典，也很美，历史至少上百年，是一个人见人爱的结论。

很多经典书籍（例如波利亚的《怎样解题》、梁绍鸿的《初等数学复习及研究（平面几何）》等）中都收录了它。证明并不困难。

如果适当调整可以使得六边形AECFBG为正六边形，还可以把除去圆的本图

看成正方体的斜二测画法的图形。

2）设△ABC外接圆为圆O，由证明知OAEC为菱形，即圆O与圆E关于AC对称，

同理圆O与圆F关于BC对称，圆O与圆G关于AB对称。其实这可以说是鸭爪定理的

另外一种形式：若H为△ABC垂心，则△ABC外接圆关于三边对称的圆分别为△HAB、

△HBC、△HCA的外接圆。这也算是垂心的一个重要性质。

3）由证明知△ABC与△FEG中心对称，△ABC外心O为△FEG垂心，从而两三角形

的对称中心为OH中点N，为△ABC九点圆圆心。

4)本题结论可以推广，可以考虑过H作多个等圆会有什么结果，有兴趣的读者可以探究。

2、（斯坦纳（Steiner）定理）如图，若H是△ABC的垂心，P是外接圆上任意一点，PD⊥BC于D，PF⊥AB于F，则线段PH一定被直线FD平分。[1]

思路分析及证明：本题难点首先在于如何描述垂心H，

看到垂心及外接圆想到鸭爪定理，

故延长AH交外接圆于H'，由鸭爪定理则HE=H'E。

下面是如何利用垂直及共圆证明M为PH中点。

由两个垂直得BFDP四点共圆，则∠PDM=∠ABP=180°-AH'P=∠DPH'。

下面就可以只考虑这个PDHH'这个局部了，将其取出来，图形简化为：

已知：如下图，DE为HH'中垂线，PD⊥DE,∠PDM=∠DPH'，M在PH上，

求证：MP=MH，

这个问题的难度应该不高了。

思路一：看到中点想到中位线，可以考虑同一法，

取PR中点R，设M'为PH中点，则RM'EH'为平行四边形，

则RM'为DE中垂线，故∠PDM'=∠H'EM'=180°-HH'P=∠DPH',

由图形唯一性知M与M'重合，即MP=MH。

思路二：由对称性想到作出P关于DE对称点D'，

则PD'HH'为等腰梯形，则∠PDM=∠DPH'=∠D',

故DM//D'H,由D为PD'中点知MP=MH.

注：1）斯坦纳定理有多种叙述形式，上述形式算是最简洁明了的。如果引入西姆松（Simson）定理：三角形外接圆上任意点在三边上的射影共线，此直线称为此点的西姆松线。则斯坦纳定理的第二种形式为：外接圆上任意点与垂心的连线被此点的西姆松线平分。联系到上述证明中的对称还可以得到它的第三种形式：外接圆上任意一点关于三边的对称点及垂心四点共线。其中第三种形式最漂亮。可能是斯坦纳发现此定理的一个思路。华莱士定理说：外接圆上点P运动时，其西姆松线的包络为圆的三尖点内摆线，如下图所示。 可能斯坦纳希望研究外接圆上点P运动时，其关于三边对称点得到的直线有什么特征，发现此直线经过一个定点，而且此点恰为三角形的垂心！如以下动画所示。

2）斯坦纳定理是几何中的一颗明珠，结论优美，证明不易。几何竞赛中经常出现它的身影.